462 J. Marttnowski. — Suite du Mémoire 



L'une ou l'autre Je ces générations est propre exclusivement à 

 la méthode de Newton. En d'autres termes, chaque racine de l'équa- 

 tion ■■pv—x=0 , ne peut être donnée que par un seul mode de géné- 

 ration (A) ou (B); jamais par tous les deux. Lorsqu'on est dans le 

 cas de la série (A) , toutes les réduites sont plus petites que v : et 

 la convergence de chaque réduite est à moins du terme qui suit 

 celui auquel on arrête la série (A). Si, au contraire, la racine v 

 de l'équation ■4^v — x=0 , ne peut être donnée que par la série (B) : 

 chaque réduite est plus grande que la racine à calculer. La conver- 

 gence, dans ce cas, est comme dans le précédent, à moins du 

 terme qui suit celui auquel on arrête la série (B). 



Remarque L La génération des séries (A) et (B) ne peut élre 

 comparée qu'à celle d'une fraction continue ordinaire , arrêtée 

 successivement à un nombre impair de termes. C'est pourquoi j'ai 

 donné le nom de réduites aux expressions a, a' , a"... N° 47. 



II. Les termes successifs de la série (A) ou (B) , lorsque la pre- 

 mière correction est infiniment petite, ne sont autre chose que les 

 termes correspondants de la série de Paoli. On peut aisément prouver 

 cette coïncidence. Posons 



X — -J/o 



et supposons ; infiniment petit ; nous aurons 



a' — a+z. (b) 



Parlant, 



x—fa' 1 



Puisque ; est un infiniment petit, 'l''[a-\-z) se réduit simplement 



à -p'a ; et, en employant la série de Tajior, pour x — ^(a+z) , on 



aura 



T— *a 1 ■P''a 



[x—i'a—ra.z -z' — ...] 



X — <l'o 1 ^"a 



fa 1-2 ^'a 



En observant que les deux premiers termes du second membre 

 se détruisent, à cause de la relation (a) ; et que , z étant un infini- 

 ment petit, on n'a le droit de conserver que les termes affectés des 

 moindres puissances de r ; il vient 



X- •Pa I 'P"a j 



~iv " rr" ra '' ^'^^ 



