464 J, Maktïxowski. — Suite du Mémoire 



en d'autres termes ^a — x cl fa de signes contraires ; 2° 



en d'autres termes i'a et ^'a de signes contraires ; 



— *'a-^'a + 3.(^'a)'>0, 

 en d'autres termes ^•{j''a)-yi''a-fa. Ainsi des autres. Pour faci- 

 liter l'énoncé de cette proposition , posons , comme au N° 48, 



x—U , j-"ff 1 ■^'"a _ 



et la série de Paoli deviendra 



j;=a+r— o, -5'— (Oj— 4.ajC2).3' 4- 



— (a,— 5'ajc2-|-5-6-a3c3)~*— etc. 



Cela posé, si a est la limite immédiatement moindre et très peu 



différente de v , tous les termes de cette série sont positifs ; si, au 



contraire , a est la limite immédiatement plus grande et très peu 



différente de v , tous les termes , à partir du second , sont négatifs. 



Ainsi , en renversant les propositions précédentes , on doit avoir, 



pour ce dernier cas : 



x-ta „ •P"a 



-<0, -r-<0' etc. 



fa ' fa 



52. Il existe encore deux autres moyens de constater la conver- 

 gence de la méthode de Newton : l'un est dû à Fourier , géomètre 

 français ; l'autre est la règle de l'extraction des f acines , dont nous 

 avons parlé, 46. 



Rapportons ici ces moyens. 



I. Moyen dâ à Fourier. En partant des principes , qui ont été 

 discutés , N° 51 , Fourier admet que la méthode de Newton ne 

 peut être cfRcace , au calcul proposé , que lorsque deux nombres 

 o et 6 , comprenant la racine v de l'équation f« — x=-0 , ne com- 

 prennent point de racine de ^'y=0 et ^"«=0. On suppose ici , 

 comme au N° 51 , que o est <6. 



Si l'on substitue les nombres a et 6 , dans chacune des trois 

 fonctions 'Pv — x, 'l''v et f'v; les résultats des substitutions dans 

 ipv — X seront de signes contraires , mais de mêmes signes dans -dJv et 

 ^"v. Cela posé , si l'on observe que les substitutions de a ô la placé 

 de V , dans 'Pv — x et fv , sont de signes contraires ; les fonctions 

 jiV — X , 'l''v et f'v , par le changement successif de «j en a et é ne 

 pourront offrir que l'une des quatre combinaisons de signes ^ 

 apportées dans le tableau ci-dcssoiis. 



