466 J. Martynowski. — ^Mi/e du Mémoire 



On verra , par des raisonncmenls analogues à ceux que nous 

 venons d'exposer, que lorsque les signes de fv — x, •i'v et '''"« 

 offrent la combinaison (4), les nouvelles limites de la racine, dé- 

 duites de a et il , sont , comme dans le cas précédent, 



'Pa — X <ph — X 



" Â^' * ¥^' 



Lorsque ces signes offrent une des combinaisons (2) et (3), on 



trouve par les mêmes raisonnements qu'il faut prendre pour les 



limites de la racine 



^a — X ^b — X 

 a — ^ , b — 



ji a ? 1/ 



Toutes ces considérations sont dues à Fouricr. Ainsi dès qu'on 

 tombe sur deux nombres a et i , qui comprennent la racine v de 

 l'équation ify— a;=0 el qui n'interceptent point de racine de 'l''v=0 

 ct^"i;=0 ; on peut toujours assigner deux autres limites, l'une en 

 plus et l'autre en moins , qui tombent entre a et 6 et qui compren- 

 nent la racine à calculer. 



Tout en reconnaissant l'utilité de ces déductions de Fourier, pour 

 reserrer les limites de la racine d'une équation ; je suis loin d'attri- 

 buer la même valeur au moyen qu'il propose pour calculer la conver- 

 gence des réduites successives auxquelles conduit la méthode de 

 Newton. Car tout se réduit à reconnaître que la méthode de New- 

 ton , lorsque l'approximation est suffisante , ne peut donner lieu 

 qu'à la série (A) ou (IJ) du N° 51 , et que la convergence est à moins 

 du terme qui suit celui auquel on arrête l'une ou l'autre de ces 

 séries. 



Ainsi la limite de convergence de la réduite a' est la troisième 

 correction de la série (A), savoir : 



X — fa' x—i'{a-\-z) 



h cause de 



, X — <^a 



a ^a-\-z=a^ ■- . 



fa 



On peut encore , en employant le terme complémentaire de la 

 série de Taylor, assigner le rapport qui existe entre la seconde et 

 la troisième correction , savoir : 



a;-<'(a+«)= ^ • /'(a+fe) 



