sur la résolution des équations numériques. 467 



el par suite 



i,<a' ^ V2 ^V ' 



OU bien eDCore 



x—i^a' 1 / x—pa . if"(a + Oz) 



fa' 1-2 ' 'p'a ' ■i'à 



Celte expression de la convergence de la réduite a, montre ce 

 qu'on peut attendre de la méthode de Newton. En effet , supposons 

 que la première correction employée soit une fraction moindre 

 qu'un dixième : il est évident qu'elle fournira l'approximation à 

 moins d'un centième , si dans l'expression de son erreur, rapportée 



en dernier lieu , la plus grande valeur du rapport — '■ — ^ — ne 



dépasse pas 2. Cette erreur serait évidemment à moins d'un mil- 



lième , si le rapport ■ — ^ — ne pouvait dépasser |. 



II. Le second moyen de constater la convergence de la méthode 

 de Newton , dans lequel est comprise la règle d'extraction des 

 racines, dont nous avons parlé, N° 46 , consiste dans le procédé 

 suivant. 



La première correction de la série (A) est donnée par l'expres- 

 sion (4) du N° 47 , savoir : 



/a ^= fa ^ 2-3 Va ^ ^ ' 



Supposons que s soit un nombre composé de «chiffres significatifs 

 el a un nombre, composé de i-{-\ chiffres significatifs , suivi de i 

 zéros , de sorte que a-\-z soit proprement un nombre composé de 

 2i-l-l chiffres; la série, que nous venons de poser, sera conver- 

 gente , si l'on a les rapports suivants 



"?;;"< a ' Va <ciir' ~¥^<cif'"'^' 



En effet, il est aisé de démontrer que, dans ce cas, les second , 

 troisième, ... termes de la série (1) ont pour limites supérieures 

 les inverses des nombres 1 , 1 (i)0 ou 1 suivi de i zéros , 1 (2i)0 ou 1 

 suivi de 2î zéros , I(4i)0 ou 1 suivi de 4* zéros; et ainsi de suite. 

 Cela posé , il est aisé de voir que la limite inférieure du la série (i) 

 étant z ; celle en plus est 



1 1 ^"o , 



