4'Î8 J. Mautynowski. — Suile du Mémoire 



ou liien 



^ a 



c Liant la hase des logarithmes népériens. Ainsi les trois quantités 



x — i'a „ fa 



^, -—, , z+{e—2).~—.z' 



ra *'a 



sont en même temps croissantes. Par conséquent, l'erreur que l'on 

 commet en prenant 



^^,-- pour., (3) 



est moindre que 



et à plus Cortc raison que 



(.-2).-^.(^=!^)\ ...(.5) 



C'est donc la limite de la réduite a' . D'après l'cspression (4) , 

 cette limite est moindre que un; par conséquent la réduite a fournit 

 %+ 1 chiffres exacts. De la même manière on démontrera que les 

 réduites suivantes a", a'", ... fournissent déjà 4j-f-l , Sï-\-\ , ... 

 chiffres exacts. Telle est la convergence de la méthode de Newton , 

 dans le cas où o étant un nombre suffisamment approché de la racine 

 V de if!)— a;=0, les conditions ci-dessus (2) se trouvent remplies. 



En est-il de mémo dans tous les cas possibles de la fonction 

 ■pv—x ? La réponse est aisée à faire , d'après le rapprochement que 

 nous avons donné , N° 51 , remarque II , entre la série de Newton 

 et celle de Paoli. En effet , si on suppose z très petit dans l'équation 

 ci-dessus (t), et qu'on retourne cette équation , la série de Paoli 

 donne 



t>— a= js— a. • ;"— (a j— 4 • n jC2) • ;' + 



— (0.3— 5-a3C2+5-6-03C3)..*— etc. 

 série dans laquelle on a 



x—*a fa 1 ^'"a 



•ta >p'a l'2-a '^a 



et 0^02 , O3C2 , ... les combinaisons particulières. Nous avons dé- 

 montré que tous les termes de la série de Paoli sont positifs, dans 

 le cas a<Cv. Cela posé , on voit que tous ces termes sont des quan-r 

 lités très petites , si z est très petit. Et comme les coefficients des 

 puissances successives de z sont des expressions qui tendent vers 



