470 J. Marttnowski. — Suite du Mémoire 



Toutes CCS réduites sont plus grandes que l/2. La première 

 donne un chiffre décimal , la seconde et les suivantes 3,5, 9 , 

 17 , .... 2i — 1 , chiffres décimaux exacts. 



Les réduites de 1/2 , que nous venons de poser ici , ne sont autre 

 chose que les réduites de la fraction conlinuc de |/2 , arrêtée 

 successivement aux 2 , 4 , 8 , 16 , .... termes. Il est aisé de vériOcr 

 cette circonstance en rappelant que \/1, résolue en fraction con- 

 tinue, est 



K2=i+J 



2+-.^ 



2+^ 



2+ etc. 



54. Les expressions des réduites successives de \/ x conduisent 

 à une expression particulière et très remarquable du logarithme 

 népérien du nombre x. 



On sait, d'après la théorie des logarithmes, que l'expression 

 théorique du logarithme népérien du nombre x , est 



lx^m{\/ X — 1 ) : 

 m étant un nombre infiniment grand. En prenant les réduites de 



(/.v , dans lesquelles nous poserons a=\ , il viendra 



xA-m 



{\/x-l) = 

 nde r 



m{l/x—l] 



1 

 Parlant, la seconde réduite donnera 



x-m'"-{-m[.r-\-7n] 



m[x-t)n]°" 



I X x" 



x-frrA-m-wrK 1-1 ) 



m 



/ X \° 



m-m""-'! 1-1 ) 



m 



= j m= 



X 



en se rappelant que l'expression théorique de l'esponentielle t^ est 



e^=( 1+ ) : 



m 



m étant un infiniment grand. Dans la réduction de la seconde 



réduite de ?.r , nous avons eu égard aux divers ordres des infini- 



