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XV. — Réstimé des 3Iétliodes élémentaires, en Géométrie; 

 Par J.-N. NOËL, 



PROFESSEUR A l'CNIVERSIIÉ DE LIÈGE. 



I. Les personnes qui ont réfléchi sur les méthodes géométriques . 

 savent combien les traités élémentaires de cette science peuvent 

 encore être améliorés , pour la plupart, quant au fond et quant à la 

 forme des théories et des applications principales. 



Une amélioration essentielle , réclamée depuis longtemps , est la 

 suppression de toutes les réductions à l'absurde que l'on peut rem- 

 placer par des démonstrations directes ; car celles-ci reposant immé- 

 diatement sur les définitions et sur des propositions , bien établies, 

 sont d'une clarté et d'une évidence comparables à celles des axiomes. 



Le défaut capital des réductions à l'absurde , démonstrations tout- 

 à-fait indirectes et souvent fort obscures , est de ne pas se déduire 

 immédiatement de la notion même de l'objet dont on veut établir 

 quelque propriété. Certainement, on est bien forcé d'employer ce 

 mode de démonstration chaque fois que l'analyse de l'objet en ques- 

 tion montre qu'on sait beaucoup mieux ce que cet objet n'est pas 

 que ce qu'il est ; mais toujours est-il que la réduction à l'absurde , 

 si elle possède l'avantage de convaincre l'esprit, n'a pas celui de 

 l'éclairer. Il ne faut donc y recourir ([ue quand on ne peut faire au- 

 trement, ou bien lorsque la vérité à établir a déjà une certaine évi- 

 dence ; comme les propositions réciproques , dont on abrège souvent 

 les démonstrations par ce mode de raisonnement. 



II. Les principales théories de la géométrie portent essentiellement 

 sur la proportionnalité et le mesurage; sur Véyaticé', V équivalence , 

 la symétrie et les deux genres de similitude des figures. Ces théories 

 recevant de fréquentes et utiles applications, dans les arts, dans 

 les recherches scientifiques et dans les déductions même de la géo- 

 métrie , doivent être amenées et développées le plus clairement 

 possible , c'est-à-dire sans l'intervention de la réduction à l'absurde, 

 chaque fois que celle-ci peut s'éviter ; car la réduction à l'absurde 

 a souvent pour effet d'alonger et même d'obscurcir les raisonnements. 

 On peut démontrer, par exemple , Yégalité de deux triangles dont 

 les trois côtés sont respectivement égaux , à l'aide d'un seul raison- 

 nement, très-simple, fondé sur les propriétés du triangle isocèle 

 (celles-ci étant démontrées directement par superposition ) ; tandis 

 que la réduction à l'absurde exige ordinairement la distinction de 

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