494 J.-N. Noël. — Résumé des Méthodes 



trois cas généraux ; ainsi elle alongc et obscurcit la démontmtion , 



comme pour une foule d'autres tbéorèmes,oîi l'on pourrait s'en passer. 



Il est rare que la notion de similitude soit développée do manière 

 à la rendre complète et à bien en faire saisir toute l'importance ; et 

 c'esl-là encore une amélioration à introduire dans les traités élé- 

 mentaires, oîi la similitude inverse , qui fournit la symétrie, comme 

 particularité , doit figurer, tout aussi bien et comme non moins 

 utile que la similitude directe , qui fournit l'égalité absolue. C'est 

 pourquoi nous reviendrons plus bas sur la notion de similitude. 



III. Dans le passage du commensurable à Vincommensurable , où. 

 il faut démontrer l'égalité de deux rapports , la réduction à l'absurde 

 n'est, en réalité, qu'un cercle vicieux. Car l'existence du rapport 

 entre deux quantités continues , entraîne nécessairement l'existence 

 d'une mesure commune , assignable ou inassignable , finie ou infini- 

 ment petite; et alors le rapport est exprimable ou inerprimable en 

 chiffres : c'est un nombre rationnel ou un nombre irrulionnel. En 

 un mot, dès qu'il y a rapport , il y a mesure commune; par consé- 

 quent la distinction des deux cas : commensurable et incommensu- 

 rable , est au moins inutile. 



Ici donc la réduction à l'absurde, employée dans tous les traités 

 élémentaires , n'apprend absolument rien : et comme elle complique 

 les raisonnements , elle ne doit aucunement servir à démontrer 

 l'égalité des deux rapports , c'cstà-dire la proportion ; et sans doute 

 qu'elle n'aurait jamais été employée, à cet effet , si la notion du rap- 

 port avait été plus développée et mieux connue. Car soient iV ,B ,C,D 

 quatre quantilés continues, A et B de même nature , aussi bien que 

 C et D ; supposons ces quantités tellement liées entre elles qu'en 

 divisant A et B en m et p parties égales à leur mesure commune x, 

 on divise en même temps G et D en m et p parties égales ou équi- 

 valentes à 2/ : on en déduit immédiatement 

 A:B=C:D. 



Telle est la méthode des parties égales , pour établir toutes les 

 proportions , en géométrie : c'est la règle du mesurage indirecte 

 Cette méthode , l'une des plus claires et des plus simples , est abso- 

 lument indépendante de toute réduction à l'absurde. 



Pour l'appliquer au mesurage indirect de tout prisme droit P, de 

 base b et de hauteur h , soit v le cube, unité de volume , ayant pour 

 base le carré s , unité superficielle , et pour hauteur Yunitc linéaire u. 

 Soit R le prisme droit auxiliaire , de même base b que P et de même 

 hauteur « que i' : à cause de la hauteur m , commune , les deux 



