élémentaires , en Géométrie. 495 



bases s de îj glissent en même temps sur les deux bases i de R ; 

 ainsi diviser i et s en n et p parties égales à leur mesure commune 

 X , par des plans perpendiculaires, c'est diviser en même temps R 

 et î) en w etp prismes droits , égaux à y, comme ayant bases égales 

 à a; et hauteurs égales à m. On a donc simultanément R=n!/ et 

 v=py , b=nx et s=px. Or, il est évident que ny:py=nx:px ; 

 donc R:w^i:s et R=u(6:s). 



De même , diviser les hauteurs h et u , de P et de R , en m et j 

 parties égales à leur mesure commune ;: , par des plans perpendi- 

 culaires (ou parallèles à la base l> commune) , c'est diviser en même 

 temps P et R en m et q prismes droits, égaus à t , comme ayant 

 hases égales h é et hauteurs égales à r. On a donc à la fois V^mt 

 et B.=qt, h = mz et u = qz ; d'où P:R=/i:u et P=R(A:u). 



Substituant donc la valeur de R , on aura , pour l'expression 

 numérique de tout prisme droit P : 



P=«(A:s)(/j:m), ou simplement P=5A , 

 les unité v ,s ci u étant sous-entendues ; d'où résultent immédia- 

 tement les expressions de tout cube et de tout parallélipipède 

 rectangle. 



IV. Ceci nous conduit à remarquer combien il importe à la 

 clarté , à la rigueur et à la facilité des théories , de bien développer 

 les notions premières et de les résumer par de bonnes définitions. La 

 théorie des parallèles n'est pas encore démontrée complètement , 

 dans presque tous les traités de géométrie ; en serait-on réduit à y 

 admettre un nouvel axiome , en forme de demande , si la définition 

 àeVangle en avait fait bien connaître la double propriété caracté- 

 ristique? ou du moins si , par les premières notions , on avait bien, 

 vu que le rapport indique toujours comment l'antécédent se trouve 

 avec le conséquent seul ? Car il résulte de ce fait que s'il est cons- 

 taté , par les dé/initions ou les constructions , que A se trouve avec 

 B absolument comme C avec D , on aura nécessairement 



A-.B=C:D. 

 Telle est la méthode analogique des proportions : elle est tout 

 aussi claire et peut être plus simple que la méthode des parties 

 égales , comme tenant de plus près encore aux notions premières et 

 à la comparaison même des quatre termes , deux à deux. 



V. Soit A le pied de la perpendiculaire PA à une droite MN ; soit 

 B un point donné sur AM , de telle sorte que la longueur AB soit- 

 donnée invariable; sur la droite menée de B à un point quelconque 

 C de AP, soit prise la longueur constante BE et soit abaissée la per- 



