•iOO J.-N. Noël. — Résumé des Méthodes 



pciidiciilaiii' EL) sur AB, dont le pied D loinbera ncccssaircmcnl 



entro A et lî, vu que l'angle A15G est aii/u. 



Cela posé , à cause de l'égalité des angles droits A et D ou BAC 

 et BDE , on voit que les deux angles A et 15 , qu'il faut tracer aux 

 extrémités de AB, pour avoir AC, il faut aussi les tracer aux extré- 

 mités de BD , pour avoir DE ; donc AC se trouve avec AB absolu- 

 ment comme DE se trouve avec BD. Si donc DE est le triple ou les 

 13 quarts de BD , il faut que AC soit aussi le triple ou les 13 quarts 

 de AB ; et en général , si DE=BDX'* , n étant un rapport expri- 

 mable ou inexprimable en chiffres, il faut aussi que AC=ABX«. 

 On voit donc que AC:AB=DE:BD et que par suite, on aura 

 toujours AC=ABCDE:BD). 



Par celte expression de AC , il est clair que si l'angle aigu B croit, 

 d'une manière continue , depuis zéro, AB et BE restant invariables ; 

 DB diminue et DE augmente , aussi bien que AC : si l'angle B , 

 toujours aigu , difl'ère infiniment peu de l'angle droit , BD est infini- 

 ment petite , tandis que DE n'est pas encore égale à BE ; donc alors 

 la longueur AC est infinie. Ainsi l'on voit, 1° que dans le même 

 plan , l'oblique et la perpendiculaire à une même droite finissent 

 toujours par se couper , étant suffisamment prolongées. 



2° Si l'angle B , continuant à croître , devient droit , d'où BD=0 

 et DE=BE ; la longueur AC cesse d'exister, aussi bieu que le 

 point C d'intersection. Par conséquent, dans le même plan , deux 

 droites perpendiculaires à une même troisième n'ont aucune inter- 

 section et sont parallèles entre elles. 



3» Enfin , si l'angle B surpasse l'angle droit (ne serait-ce que d'un 

 angle infiniment petit ) le pied D quitte le point fixe B et passe dans 

 la situation opposée à celle qu'il avait sur AM , quand l'angle variable 

 B était aigu; de sorte que la longueur BD devient négative, de 

 positive, puis nulle, qu'elle était avant; donc la longueur AC 

 àey'iaai négative , àa positive , puis impossible, qu'elle était quand 

 l'angle B était aigu , puis droit. Le point d'intersection C est donc 

 encore situé sur la perpendiculaire AP, mais sur son prolongement 

 au-dessous de MN. Or, BE n'étant ainsi parallèle à AP que quand 

 l'angle B est droit , on voit que , par un point donnéB, on ne peut 

 mener qu'une seule parallèle à la droite donnée AP. 



De là suit immédiatement que, deux droites étant parallèles, toute 

 perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre : c'est la 

 réciproque de 2°, que M. Francœur a cLoisie pour établir la théorie 

 des parallèles. 



