508 J -N. NoKL. — Résumé des Méihudcs 



Telle n'a pas élé la mélbode suivie dans la plupart des traités de 

 géométrie, où la ibéorie des parallèles laisse encore à désirer, 

 malgré les efforts de beaucoup d'auteurs pour mettre cette théorie 

 fondamentale à l'abri de tout reproche. 



On connaît les travaux do Legendrc et de plusieurs autres (jéo- 

 niètros sur ce sujet : presque tous sont entraînés h de longues 

 démonstrations, sans pouvoir leur donner toute la clarté et toute 

 rcxaclitude désirables. 



Bertrand de Genève a bien vu le premier que la nature infinie de 

 l'angle doit entrer en considération ; mais l'usage qu'il en fait, dans 

 la théorie ci-dessus, bien que propre à l'éclaircir et à lui donner 

 une grande exactitude , ne paraît pas entièrement exempt de diffi- 

 culté , à plusieurs géomètres ; même à ceux qui regardent sa théorie 

 des parallèles comme l'une des plus claires. C'est qu'eu effet la déli- 

 nition de Vangle y est incomplète , aussi bien que la définition géné- 

 ralement admise. 



En présence de ces difficultés , plusieurs auteurs modernes , au 

 lieu de chercher à perfectionner les définitions , seul moyen d'éclaircir 

 les théories, se sont attachés à simplifier le posluîatum d'Euclide , 

 en le remplaçant par d'autres , plus faciles à accorder. 



XV. Parmi les propositions qui peuvent servir de base à la Ibéorie 

 des parallèles, Lacroix et différents auteurs , après lui , regardent 

 la suivante comme ayant toute l'évidence désirable , savoir : l'obli- 

 que et la perpendiculaire à une même droite, dans le même plan, 

 finissent toujours par se couper , étant suffisamment prolongées. 



On a vainement essayé de démontrer celte proposition fondamen- 

 tale, d'après les définitions admises : la logique est impuissante et 

 refuse le service pour y parvenir. Aussi n'est-ce qu'en désespoir de 

 cause, et pour simplifier le plus possible , qu'on a rangé la propo- 

 sition ci-dessus parmi les axiomes : elle en a d'ailleurs les carac- 

 tères ; et plusieurs auteurs motivent le choix qu'ils en ont fait, par 

 des considérations de nature à satisfaire les esprits les plus exacts 

 et les plus rigoureux. 



D'après Lacroix , l'oblique et la perpendiculaire doivent non- 

 seulement se couper ; mais la notion de la ligne droite ou la sensa- 

 tion par laquelle on voit si un alignement est bien pris , montre 

 même l'endroit où doit se faire l'intersection. 



Toutes les vérités de la Géométrie , dit M. Nicollet , sont condi- 

 tionnelles et subordonnées h l'adoption de quelques axiomes ; par 

 conséquent , nous ne voyons ni diflituUé ni conlradiclion , à en 



