élémentaires , en Géométrie 509 



compter un de plus , quand la vérité dont il est l'expression en a lout 

 le caractère , comme la proposition ci-dessus. 



Néanmoins, les géomètres qui tiennent à faire de leur science , 

 une pure science de déductions logiques , pensent qu'il faut , pour 

 cet effet , emprunter le moins qu'il se puisse au témoignage des sens 

 et que , par suite , il faut réduire au plus petit nombre possible les 

 axiomes et surtout les demandes, en géométrie. De sorte qu'ils regar- 

 dent comme une légère imperfection de la science qui n'en devrait 

 connaître aucune , l'impossibilité où ils sont de démontrer la pro- 

 position ci-dessus, de manière k satisfaire tout le monde. 



Or , à quoi tient cette impossibilité? Ne vient-elle ' 's de ce qu'un 

 angle droit et un angle aigu , c'est-à-dire la posiujn perpendicu- 

 laire et h position oblique, étant les éléments essenli-'î de la dé- 

 monstration, on n'y fait point assez intervenir la do.ble propriété 

 caractéristique de l'angle : d'avoir ses côtés illimités dans un sens et 

 d'exprimer la position , plus ou moins éloignée , plus ou moins 

 écartée , plus ou moins ouverte , d'un côté à l'égard de l'autre ? N'est- 

 ce pas , en un mot , parce que la définition admise de l'angle ne fait 

 point assez connaître cette double propriété ? 



La méthode analogique des proportions et la discussion de l'ex- 

 pression résultante démontrent , très-clairement et très-exactement , 

 la proposition ci-dessus , ainsi que plusieurs autres , tout aussi fon- 

 damentales, comme on l'a vu plus haut ; mais la, véritable notion de 

 l'angle conduit aussi très-rigoureusement et plus directement encore 

 au postulatum d'Euclide. 



XYl. L angle est bien une portion plane infinie , comprise entre 

 ses deux côtés ; mais c'est aussi la position , plus ou moins ouverte , 

 d'un côté à l'égard de l'autre ; et c'est uniquement celte position , 

 oblique ou perpendiculaire , que l'on considère dans chaque angle. 

 De sorte que la grandeur de l'angle dépend, non de la longueur 

 illimitée de ses côtés , mais seulement de leur ouverture, de leur 

 écartement; et l'angle est d'autant plus grand qu'il est plus ouvert. 



Telle est , je pense , la véritable notion de l'angle : il en résulte 

 que l'espace angulaire autour de chaque point du plan infini est 

 absolument le même , quel que soit ce point. Tous les angles droits 

 sont donc égaux entre eux, comme étant chacun le quart de l'espace 

 angulaire autour de chaque point du plan infini ; c'est-à-dire que 

 chaque angle droit est au fond le quart du plan. 



Maintenant , considérons deux droites coupant une même troi- 

 sième , dans le plan , et supposons que l'un des angles externes A 



