510 J.-N. Noi L. — Résumé des Méihudcs 



soit plus grand que l'angle interne B , correspondant. Ces deux 

 angles ont leurs premiers côtés sur la troisième droite, tandis que 

 le second côté de A est en partie dans l'angle B ; or il doit couper 

 nécessairement le second côté de B. Car s'il en était autrement , 

 c'est-à-dire si le second côlé de A était contenu entièrement dans 

 l'angle B ; l'angle A ne serait évidemment pas plus ouvert ni plus 

 grand que l'angle B , contrairement à l'hypothèse. Donc les seconds 

 côtés de A et de B uniront toujours par se couper ; c'est-à-dire que , 

 dans le même plan , si deux droites rencontrent une même troi- 

 sième , de telle sorte qu'un angle externe soit plus grand que l'angle 

 interne , correspondant , ces deux droites finissent toujours par se 

 couper, étant suffisamment prolongées. 



Tel est le postulatum d'Euclide, base de la théorie des parallèles, 

 la plus simple et la plus complète. Ce postulatum me paraît démontré 

 clairement et rigoureusement ; mais on peut encore procéder comme 

 il suit : Soit placé l'angle B dans l'angle A plus grand , de telle 

 sorte qu'ils aient un côté et le sommet communs ; il est clair que si 

 l'on fait ensuite glisser l'angle B , dans sa nouvelle position , sur le 

 côté fixe prolongé de l'angle A , jusqu'à ce que B soit revenu dans 

 sa position primitive ; le second côlé de B ne pouvant coïncider un 

 seul instant avec le second de A , ces deux seconds côtés se couperont 

 dans une infinité de positions consécutives de B , bien que leur 

 intersection unique s'éloigne de plus en plus du sommet d'abord 

 commun. Et comme l'analogie est complète entre toutes les posi- 

 tions de B à l'égard de A, il n'y a point de raison pour que les 

 deux seconds côtes cessent de se rencontrer : donc ils se couperont 

 toujours ; ce qu'il fallait démontrer. 



Pour appliquer , plus immédiatement encore , l'analogie directe , 

 menons les deux droites AN et BP, se coupant en un point C et 

 coupant la droite ABM en A et B : l'angle externe PBJI sort d 

 l'angle interne NAM , correspondant ; il est donc plus ouvert et plus 

 grand que ce dernier. Faisant glisser sur MA l'angle PB3I , de telle 

 sorte que le sommet B soit en un point D de AB , que le côlé BP 

 coupe AN en un point I et qu'on ait l'angle IDM=PBM : il est clair 

 alors que les deux angles A et IDM , qu'il faut tracer aux extrémités 

 de AD , pour avoir DI , il faut aussi les tracer aux extrémités de 

 AB , pour avoir BC ; donc BC se trouve avec AB , absolument 

 comme DI avec AD ; car ici les angles sont des éléments générateurs 

 auxiliaires , qui ne sauraient entrer dans le résultat de la génération- 

 Si donc DI=ADXn , on aura aussi uécessaircaient BG=ABxn ■ 



