élémentaires, en Géométrie. 511 



cela donne BC:AB=DI: AD et par conséquent , on aura toujours 

 BC = ABx(DI:AD). 



Cela posé, l'angle MBP ou MUI restant invariable, aussi Lien 

 que les longueurs AB et Al , supposons que l'angle A ou MAN 

 croisse , depuis zéro jusqu'à deux droits ; il est clair alors que AD 

 diminue et passe par \' infiniment petit et le zéro absolu , avant de 

 devenir négative ; et comme DI augmente jusqu'à AI , puis diminue , 

 on voit que BC croît et passe par Xinfiniment grand, puis par la 

 non-existence , qu'indique AB(AI:0) , avant de devenir négative. 



Ainsi les deux droites AN et BP se coupent , tant que les deux 

 angles interne-externe'îihM et PBM sont inégaux. Mais si ces deux 

 angles sont égaux, ce qui n'a lieu que dans le seul cas de AD=0, 

 la longueur BG est impossible , aussi bien que l'intersection C ; donc 

 les deux droites A.^ et BP, toujours dans le même plan , sont paral- 

 lèles , dès que deux angles interne-externe sont égaux. 



On a donc cette proposition fondamentale : par un point donné 

 A , on peut toujours mener une parallèle à la droite (racée BP , 

 mais on ne peut en mener qu'une seule. 



XVll. Ces développements suffisent sans doute pour bien mettre 

 en évidence l'utilité de la discussion des formules et surtout les res- 

 sources qu'offre l'analogie directe , pour établir clairement les 

 propositions fondamentales de la géométrie. Eu voici encore des 

 exemples , à remarquer : 



1° Dans le triangle ABC , l'angle G se détermine entièrement par 

 les deux autres A et 6 , en les traçant aux extrémités du coté AB ; 

 et cela , quelle que soit la longueur de ce côté. De sorte que l'angle 

 C ne dépend aucunement de cette longueur. De même , dans le 

 triangle A'B'C, l'angle C est déterminé entièrement par les deux 

 autres A' et B', tracés aux extrémités du côté A'B'. Il est donc évi- 

 dent que l'angle C se trouve avec les deux A' et B' absolument 

 comme l'angle C avec les deux A et B. Si donc l'angle A--=A' et 

 l'angle B=B' ; le troisième angle C est nécessairement égal au 

 troisième C, et les deux triangles sont équiangles entre eux. 



D'ailleurs , puisque les deux angles C et C ne dépendent au- 

 cunement des longueurs AB et A'B', ils ne sauraient changer 

 lorsqu'on suppose AB = A'B'; et comme déjà l'angle A=A' et l'an- 

 gle B=B', on voit que les deux triangles ABC et A'B'C sont 

 égaux et qu'ainsi l'angle C =G'. Donc puisque l'hypothèse AB = A'B' 

 ne change point les angles G et C, il s'ensuit qu'avant cette hypo- 

 thèse on avait déjà C=C'. 



