élémentaires , en Géométrie. 513 



sont pas détruites et sont alors numériques ou entre nombres abs- 

 traits , rationnels ou irrationnels. On a donc simultanément 

 AB^=BDxBC , AG'=CDXBG , 

 AD'=BDXCD et BCxAD=ABxAC. 



6° Voilà déjà quatre relations entre les droites numériques dans 

 tout triangle rectangle. Ces relations importantes, faciles à retenir 

 et à énoncer, fournissent toutes les relations numériques, qui 

 résultent de la comparaison des longueurs , dans la géométrie plane, 

 et cela , à l'aide des propriétés de triangles équiangles et d'une autre 

 relation , non moins utile, déduites immédiatement des deux pre- 

 mières , savoir : 



BC(BD-fCD) ou BC'=AB' + AC\ 



Cette relation est satisfaite , comme on sait, par une foule de sys- 

 tèmes de nombres entiers , dont voici le plus simple : BG = 5 , AB= i 

 cl AG=3. 



7° Réciproquement , si l'on introduit l'unité superficielle s devant 

 chaque terme , comme multiplicande , et qu'on ait égard aux expres- 

 sions numériques du carré et du rectangle , on aura cinq autres 

 relations entre des rectangles et des carrés réels ; et l'on voit , par 

 la dernière, que dans tout triangle rectangle, le carré construit sur 

 l'hypoténuse vaut la somme des carrés faits sur les deux autres côtés. 



D'après l'égalité et l'équivalence des figures , ce théorème remar- 

 quable et ses corollaires se démontrent directement sur une figure 

 iracée. Cela peut paraître plus clair, mais est moins simple, en 

 réalité, que l'emploi ci-dessus des droites numériques. On a , par 

 ce théorème et ses corollaires, cinq relations entre surfaces rectan- 

 gulaires ; et si on y remplace les rectangles et les carrés par les 

 expressions de leurs aires ; la suppression de s , dans tous les termes , 

 reproduit les relations , établies plus haut. 



8° On voit clairement, par les considérations précédentes, com- 

 ment on passe de la géométrie graphique à la géométrie numérique, 

 et réciproquement. Si nous insistons sur ce sujet , c'est qu'il est 

 souvent fort négligé dans les traités élémentaires , où faute des dé- 

 veloppements nécessaires , les utiles propositions qu'il fournit ne 

 sont pas toujours clairement saisies ; de sorte que les élèves se trou- 

 vent ainsi arrêtés dans une étude importante. 



Pour la leur rendre facile , il faut des notions clairement dévelop. 

 pées et des démonstrations bien choisies ; il faut surtout éviter la 

 multiplication , terme à terme, de deux proportions entre quantités 

 continues. Car celte multiplication , trop souvent employée n'offre 



