RESPONSrO A» QUAESTIOWEM MATHEMATICAM. 9 



»»' 4- '»''' — 2mm' COS. (a, c\ 



sin.» (a, c) ^"1 



, 4=. Invento x , determiuari polest auiilio trianguli ADR perpendicularis DK. Kam 



si haec per p designelur , ex noslra constructione habemus : 



p' = ß^ ~ *> 



et secundum aequationem (</) : 



„ä _ n^ "»' + "*'" — 2otw' cos. (a, c) . 



r — N — : — — ; r ; siye: 



sin.» (a, c) 



1 6° sin.» (a, c) + 1mm' cos. (a , c) — m» — wt'» 



siu.» (a, f) ^ ' 



Sed in triangulo ABC est cos. (a, c) = «' + c° - ^ ^^^^^ ^^ foimula sin.» («, c) 

 = 1 — cos.» (a, e) deducitur: 



sin.» («,«)= 2^'^- + 2^»c» +2a»c» - ^4 _ 64 _ c4 

 i 4a^c» 



Snbstilutis hi's valoribus , atque eliam illo m et m' inven'o in aequatione (a) , mula- 

 lur formula ( e ) in hancce : 



ß.na'b^ + 2a=f» + 24»c» — «♦ — ** — c*N /'i a» -f- /3» + ?-» \ 



^a^-b" + ia^c'- + 26»c' — a* — b* — c* 



f ± c» ± /3» + fli' N^ a» + c» — ^^ v^ /"+ „1 -t ^. ::p ^in» -r_}. c» + /3» q:^»\» 

 V 2. A 2ac -) - y- -2a J -^ 2c ) 



2«»6» + 2a»6» + 2¥c=- — «4 _ ^4 _ e4 " " 



4a»c» 

 In hac fonnula superius Signum termini secundi adhibendum est , si valores m et m' si- 

 inul positivi vel negativi sunt , inferius aulem signum , si unus sit positivus alter negati- 

 Yus. Nam in ulteriore casu expressio mm' cos. (a, c) , quae in antecedentibus aequa- 

 tionibus reperilur, signum oppositum accipit. Hoc tarnen nullam vim habet in formulam 

 sequentem, quoniam — ( — q) = + g, 



Haec aequatio , in ordineni redacta , et simplicius reddita , fit : 



, _ { a'b'-a^ -f- a°c»^» + 5»g^^» + e'a»7» + «»y'a;' + 

 2a=6» + 2rt»c-> + 26»c» — «4 _ ^4 _ c4 



b'c'ß' -f g-'ß^a- + c» / 3-?>» + A»^»g» -f. j' y'ß' + c»Ä»y» + C=/3»y»') — (a»»V;» + 

 2a' 6» + 2«»c» + 2/)»6-» _ «4 _ ^4 _ c* "^ 



a^ß'^' + b^x^y^ 4- c»di^/3») — (a*^.^ + b*ß^ 4- cV» + «».^'^ + 6»3* + c'y'^ ) 



2a» 6» + 2n»o» + 2ü»c» — a'^ — b* — c* ^ ^ ''' 



Con- 



(5) Cum cosi-ie tetraedri omnes s!bl aequales ponantur, et per a exprlmautur quo in casu tetrae- 

 drum reguläre est , tum in hac aequatione erit ; 



