22 MÉMOIRES DE MATHÉMATIQUES 
nombre quelconque de variables, est toujours suscep- 
tible d’une intégrale exprimée par une suite finie ou 
infinie, et complétée par un nombre de fonctions arbi- 
traires égal à l’indice de l’ordre de l’équation : chacune 
de ces fonctions comprenant autant de quantités indé- 
pendantes entre elles qu’il y a dans la proposée de 
variables, moins deux; ce qui fixe l’étendue que doivent 
avoir les intégrales générales. On parvient à ce résultat 
en développant la valeur de la variable principale en 
série au moyen du théorème de Taylor, et la géné- 
ralité qu’elle comporte se trouve démontrée par lin- 
détermination d’un nombre convenable des premiers 
termes de la série. 
Ces développemens sont d’une importance d’autant 
plus grande qu’il est souvent impossible d’exprimer en 
termes finis l'intégrale générale, et c’est ce qui arrive 
sur-tout au-delà de trois variables. Pour le faire voir, 
je considère les conditions nécessaires pour l’indépen- 
dance des quantités qui doivent entrer sous les fonctions 
arbitraires lorsque l’intégrale générale est exprimée en 
termes finis; et j'en déduis, entre les coefficiens de 
l’équation proposée, des relations sans lesquelles cette 
circonstance ne sauroit avoir lieu. Je donne la manière 
d’obtenir ces conditions , et la loi suivant laquelle elles 
se multiplient. 
Lorsque l’intégrale générale est impossible en termes 
finis, on peut encore obtenir des intégrales particulières 
qui jouissent de cette propriété, et qui ont avec l’inté- 
grale générale des rapports très-intimes. Mais quand on 
