42 MÉMOÔOIRÉS DE MATHÉMATIQUES 
dv du ‘du du dv 
de / du 
(Gr a) 
ce qui donne 
GENE 4 07 
F désignant une fonction arbitraire, et les trois équa- 
tions (A), (A,), (A.) se réduisent à la suivante: 
F du? du du? du du 
il a 
dt: B PACE C d'y? + D dt dx 
du du du du 
— E en mi + F Fe pri PONS (A) 
La fonction @ (4, v) n’est donc alors fonction que 
d’une seule quantité 4, et non pas de deux quan- 
tités z et y indépendantes entre elles, comme il seroit 
nécessaire pour que l'intégrale de la proposée fût pos- 
sible en termes finis. 
On pourroit croire que la valeur de z étant donnée 
par une équation différentielle partielle du premier 
ordre à quatre variables, et comportant par-là même 
une fonction arbitraire de deux quantités, cette cir- 
constance introduira dans la valeur de z la généralité 
convenable ; mais on remarquera que la fonction arbi- 
traire que x doit renfermer seroït elle-même engagée 
sous la fonction arbitraire @ (4) dans la valeur de z: 
d’où il suit qu’en donnant à @ toutes les formes ima- 
ginables, et variant en même temps la fonction arbi- 
traire de deux quantités qui entreroit dans z, on auroit 
une infinité de valeurs de 3 irréductibles entre elles, 
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d 
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