110 MÉMOIRES DE MATHÉMATIQUES 
Pour que z, = — 4 donne %,,,,5 = %»,3,09 Ce qui doit 
avoir lieu par ce qui précède, il faut qu’on ait 
2 K3,65 d Y, dy, 
DE K 0,7%, 1 EEE ( + ) 
2.13 d x* d y° 
K5 45 dt+, di#, d'#, 
AN EME SP VUE dzx°. dy* dy 
+ OC el UNIT SNL HET STORE ECO) 
d’où il résulte que si l’on fait Z — 4, on aura encore 
E- _— 
Ex, y} 30 — Zx,y, ° 
eten poursuivant ce raisonnement, dont rien ne limite 
la généralité, on prouvera que si 
Zx, 9,4 — Zx,y,0 
æ et y étant quelconques, on aura par cela seul 
Br, y, 18 — Zxr,y,o 
æ et y étant encore quelconques. Ce qui fait voir que 
la surface reviendra à son état initial après des inter- 
valles de temps égaux à 4, 20, 3 8... 78, si elle y 
revient une seule fois après le temps 0. 
Quant aux équations (K}), (K,), (K.)..... elles 
métablissent pas de nouvelles conditions à remplir par 
le moyen de la fonction z; mais elles résultent néces- 
sairement les unes des autres, comme on vient de le 
voir. Il est aisé de s'assurer qu’elles signifient que si 
l’équation (K) est satisfaite lorsque 4 — 8, elle le 
sera encore, et de la même manière, quand on fera 
