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Dans un mémoire intitulé De formulis entesralibus 
duplicatis , et imprimé parmi ceux de l’Académie de 
Pétersbourg pour l’année 1769, Euler a traité également 
le problème de Viviani, mais d’une manière plus géné- 
rale et plus complète qu’on ne l’avoit fait encore. Ce 
mémoire contient une foule d’observations intéressantes 
et utiles au progrès de cette branche de la géométrie. 
C’est là, par exemple , qu’on trouve , pour la première 
fois, le principe ingénieux et fécond de transformer une 
expression différentielle qui demande des intégrations 
redoublées , en une autre plus commode pour le calcul ; 
de sorte que souvent une telle quantité , intraitable sous 
sa première forme , est rappelée par là aux simples inté- 
grations ordinaires. Euler a examiné aussi, dans cet 
écrit, la question de la voûte cybable; il propose et 
résout ce problème élégant | comme il Pappelle lui 
même : Construire sur La base d'un hémisphère une 
courbe telle, que le solide élevé perpendiculairement sur 
son aire, ef terminé par la surface hémisphérique , ait 
une expression algébrique. Il trouve qu’une courbe du 
quatrième ordre, dont il donne l’équation, satisfait à 
la question ; mais ni lui, ni aucun autre géomètre , n’a 
remarqué, du moins que je sache, que la construction 
de Viviani pour la voûte hémisphérique carrable 
donne en même temps une solution du problème de la 
voûte hémisphérique czbable. Cette observation, qui 
est le résultat d’un calcul que je donnerai, forme le 
nouveau théorème dont il s’agit , et que j’énonce ainsi : 
