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MATHEMATIQUES ET PHYSIQUES. 7 



ie reste i ou le reste 2 , ou sans reste, lesquelles donnent, 



suivant la règle de Bernoulli, la somme moyenne ^ , 



savoir — . 



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En général, si on considère la fraction 



1 -(- JT -f- a:» + etc. ■+■ û:"-' . 



— — , ou « > m, 



1 -H X + x» -+- etc. -*- a:" - ' ^ -^ ' 



et qu'on fasse la division ordonnée suivant les puis- 

 sances de :r, on trouvera pour quotient la série 



1 — a:"^ -h ce" — or'"-*"" -h a:'" — cc'"'^"' -+- etc. 



Cette série devient 1 — 1 -f- 1 — 1 etc. lorsque J7 zir 1 ; 

 mais si on ordonne le quotient suivant les puissances 

 de or, en suppléant les puissances qui manquent par 

 des termes multipliés par o , et qu'ensuite on y fasse 

 a; n: 1 , elle se trouvera composée de périodes de /z, 

 termes tels que 1,0, 0.... — 1,0,0, o.... j de sorte 

 qu'en additionnant successivement les termes de la 

 série , ces sommes formeront des périodes de /z , termes 

 tels que 1 , 1 , 1 et o , o , o etc. Ainsi , suivant la règle 



de Bernoulli , la somme moyenne sera • — ziz — , 



comme il résulte de la fraction proposée, en y faisant 

 a: nr 1 . 



Quoiqu'on puisse de cette manière justifier la règle 

 de Bernoulli , il faut avouer que le principe d'où elle 

 dépend est trop précaire pour pouvoir servir à l'établir 

 solidement ; mais en regardant les séries périodiques 

 dont il s'agit comme des séries récurrentes, on peut 



