8 HISTOIRE DE LA CLASSE DES SCIENCES 



démontrer que cette règle donne pour la somme de ces 

 séries le même résultat que la théorie connue des séries 

 récurrentes. 



En effet, soient a^b^c etc. '. u\e& n termes qui com- 

 posent chaque période de la série, et dont la somme 

 est supposée nulle , il est facile de prouver que la série 



a -^ h X -^ c x' -^ Gic. -h ;/ ic" " ' -h a a:" -+- 5 a;" ■*" ' -h etc. 



sera une série récurrente formée par le développement 

 de la fraction 



a -f- i:r -)- ex' •+■ etc. -f- ux"~ * 

 1 — x' 



Faisant :r = i , le numérateur et le dénominateur de 

 cette fraction deviennent zéro. On prendra donc par la 

 rè"le connue les différentielles du numérateur et du 

 dénominateur ; mais auparavant nous changerons , ce 

 qui est indifférent, :r en ^ : ainsi, en multipliant le 

 haut et le bas de la fraction par s", elle deviendra 



a z" -f- * z" - ' -f- c z" - " -f- etc. -f- « z 



z'— i ' ""* 



Maintenant, différentiant le numérateur et le dénomi- 

 nateur, et faisant ensuite 2 m i , on aura 



na-1-(n — i) i-)-(« — 2)c-|- etc. -4- u 

 n 



pour la valeur de la fraction qui donne naissance à la 

 série périodique 



a -t- Z» -4- c -t- etc. -+- « -f- a -h 3 -j- etc. etc. 



