MATHEMATIQUES ET THTSIQUF. S. l6 



Ainsi les équations U q\. V sont liées par cette pro- 

 priété commune 5 savoir, que si, dans l'équation U ^ 

 on prend deux termes consécutifs , y et y' , dont la 

 distance Lx résulte d'une loi arbitraire, mais convenue, 

 pour la variation de x , j/ et j/' seront aussi deux 

 termes consécutifs de la série donnée par un cas parti- 

 culier de l'équation ^, en appliquant à cette équation 

 la même loi de variation pour x. 



Les équations U et J^ satisfont donc à la même 

 équation aux différences premières , et s'écartent dans 

 les différences des ordres supérieurs , puisqu'on général 

 elles n'ont de commun que deux termes consécutifs. 

 Pour trouver cette équation aux différences premières , 

 on fera varier x et y dans l'équation ^ (en assujettis- 

 sant les variations de a: à la loi convenue) , et on éli- 

 minera le paramètre a entre l'équation variée et l'équa- 

 tion primitive. Le résultat de l'élimination sera une 

 équation élevée aux différences premières , que nous 

 appellerons équation D , qui , ne dépendant plus d'au- 

 cune valeur particulière de a , conviendra indistincte- 

 ment à tous les cas de V^ et conviendra aussi à U. ~ 



Nous voilà donc parvenus à une équation différen- 

 tielle du premier ordre Z>, qui a deux intégrales dis- 

 tinctes , V et U) mais nous n'avons eu égard qu'à la 

 suite des courbes n° i . Celle des courbes n° 2 nous 

 auroit fourni les mêmes considérations , et conduits à la 

 même équation différentielle D , qui est ainsi satisfaite 

 par quatre équations finies et distinctes. Si l'équation V 

 étoit, par rapport à a, d'un degré plus élevé que le 



