l4 SUR LA THEORIE DES VARIATIONS 



conservera les expressions elliptiques des coordonnées 



x^ y^ z, ainsi que celles des différentielles —7—1 -T~y 



— ^; mais en y regardant les constantes a, Z», c, etc. 



comme variables, et on vérifiera les équations par la 

 variation de ces constantes dans les différentielles se- 

 condes. 



Désignons pour un moment par la caractéristique ^ 

 les différentielles provenantes de la variation des cons- 

 tantes , tandis que la caractéristique ordinaire d se 

 rapporte à la variation de t. La différence première 

 de oc aura pour valeur complette en faisant tout varier 

 ff:r -h (^a:; donc supposant J^oczzzo elle sera simplement 

 dx) ainsi la valeur complette de la différence seconde 

 de X sera ddx -f- J^ dx 5 mais la partie ddx satisfait 



à l'équation en x sans le terme — — qui en forme le se- 

 cond membre , quelles que soient les valeurs des cons- 

 tantes, puisque l'équation se vérifie identiquement ; donc 

 l'autre partie doit vérifier le reste de l'équation. Ainsi 

 on aura 



i-dx da 



dt' dx 



de sorte que, relativement à l'équation en x^ on 

 aura par la variation des constantes arbitraires , \gs deux 

 équations 



- }dx da 



ePx n:^ o et -^— - 3z; — -— 



dt' dx 



On aura de même, relativement à l'équation en j', 

 les deux équations 



