QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 131 
dans l'espace Z'OX, et qui n’ont eu qu’un minimum 
dans cet espace. 
Il existera de même, dans l’espace inférieur, des caus- 
tiques analogues aux précédentes, c’est-à-dire formées 
par des trajectoires qui auront eu plusieurs r1i7ima dans 
l’espace supérieur ZOX et plusieurs #axima dans l’es- 
pace inférieur Z'OX. I] suffira, pour obtenir ces caus- 
tiques , de changer + en &’ dans les résultats précédens; 
alors, en désignant par z' les z qui s’y rapportent, et 
que nous prendrons positivement dans le sens OZ", on 
aura : 
1°. Caustiques formées dans l’espace inférieur par des 
trajectoires menées originairement dans cet espace, 
_— eee, (2 sin. à T+ sin. 4 I) 
= et te, (1—2cos.2I+cos.4T) 
2°, Caustiques formées dans l’espace ir inférieur par des 
trajectoires menées originairement dans Pespace supé- 
rieur ZON, 
_r (a+ a). [r. (œ + &°) — x] 
aa [272 (@+ a) — a] 
Ca + +a)—a 
Z—=— a Paie Ph ER NES (1—2cos.21 + cos.41T) 
æ. «? 
. (2 sin. 2 T + sin. 4 T) 
En faisant 7 — 1 dans ces derniers on retrouvera les 
valeurs de æ et de z trouvées précédemment pour la 
caustique formée dans l’espace inférieur par des tra- 
jectoires menées originairement dans l’espace supé- 
