20  MÉMOIRE 
par  conséquent,  en  observant  toujours  que  la  doulile  'inté- 
grale /jT'„V„diJ.'  do)'  est  nulle  pour  toutes  les  valeurs  de 
jii  différentes  de  n ,  et  que  pour  771  :=  «  on  a 
fP 
T'„U'„rV^J  =  ;    ^^ 
2n  +  i  ' 
nous  en  conclurons 
ffj  7'°  +  ^  U'„ .  r/[/  doy'  =  ^~cth a''+^ 
Cette  équation  a  lieu  pour  toutes  les  valeurs  de  n ,  excepté 
7i  =  o  ;  dans  le  cas  de  «  =  o ,  on  a ,  comme  précédemment , 
T 
# 
y  /'''  diL  dbi'  =  /^nba'; 
et,  au  moyen  de  ces  diverses  valeurs,  la  seconde  série  du 
n°  3  devient 
=  ^ — [i  +«(T.--  +  T,-p  +  T3-^  +  etc.)]. 
Les  différences  partielles  de  cette  valeur  de  V,  par  rapport 
à  a;,  (A  et  u,  feront  connaître  les  composantes  de  la  répulsion 
que  la  couche  électrique  exerce  sur  un  point  quelconque 
pris  en  dehors  du  sphéroïde.  Relativement  aux  points  de  sa 
surface,  il  faudra  faire  a;  =  /:=rt(i  +«?),  après  avoir 
différencié  par  rapport  à  x  ;  donc  à  cette  surface  la  répul- 
sion électrique,  décomposée  suivant  le  rayon  r,  sera  expri- 
mée par 
formule    dans    laquelle  on  doit  mettre  pour  r   sa  valeur 
a  {i  +  a^),  ce  qui  donne,  en  négligeant  a", 
~S  =  7T^r['+«(-T.  +  3T.  +  4T3+etc.)]; 
