38  MÉMOIRE 
on  voit  qu'elle  sera  toujours  composée  d'un  nombre  fini  de 
termes,  et  qu'elle  ne  contiendra  jamais  de  puissances  néga- 
tives de  (/.. 
Au  reste,  cette  valeur  de  y„  est,  à  un  coefficient  près,  le 
terme  général  du  développement  de  (  i  —  i^-x  -\-  x')'^ ,  or- 
donné suivant  les  puissances  de  x.  En  effet,  soit 
on  aura ,  en  éliminant  le'  radical  par  des  différentiations , 
^       ^     '    du.  -\-  X.  —i—r-  =  O  : 
; =-  aa-  ' 
représentons  le  développement  de  X  par 
X  =  P„+  P,a74-  P>a;'+  P^^'^-t- -f-  P„a;"  +  etc.; 
P„  sera  une  fonction  rationnelle  et  entière  de  [x;  et,  de  plus, 
si  l'on  substitue  cette  valeur  de  X  dans  l'équation  précé- 
dente, la  comparaison  des  puissances  semblables  de  x 
donne,  pour  déterminer  P„,  la  même  équation  que  celle 
qui  a  servi  à  trouver  la  valeur  de  /„ ,  savoir  : 
d.(l  ■ — a').— =—  ,  .  „ 
il  s'ensuit  donc  que  la  valeur  de  P„  ne  peut  différer  de  celle, 
de  j„  que  par  le  coefficient  indéterminé  N. 
Ainsi,  quelle  que  soit  l'épaisseur  /-,  le  terme  général  de 
son  développement  pourra  toujours  s'exprimer  au  moyen 
du  terme  qui  lui  correspond  dans  le  développement  de  X, 
c'est-à-dire,  que  l'on  aura  toujours 
j„  =  A.  P.; 
