PARTIE MATHÉMATIQUE. vi] 
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ou à la différence de deux autres fonctions : on le peut de 
même par une fonction qui se trouve en rapport rationnel 
avec une fonction donnée ; propriété qui appartient égale- 
ment aux arcs de cercle et aux logarithmes. 
Les arcs d’elhipse et d’hyperbole jouissent d’une propriété 
analogue, mais un peu moins simple. Deux arcs étant don- 
nés sur ces courbes, on peut trouver algébriquement un arc 
égal à leur somme augmentée ou diminuée d’une quantité 
algébrique. 
Ces fonctions réunissent tant de propriétés, et sont si 
utiles à introduire dans l’analyse, que M. Legendre exprime 
le vœu qu’on leur impose un nom particulier ,et que ce nom 
puisse rappeler ou l’analogie qu’elles ont avec les quantités 
angulaires, ou la propriété qu'elles ont de mesurer le temps 
du mouvement d’un pendule simple. 
Les fonctions elliptiques de la troisième espèce offrent des 
comparaisons du même genre. Étant données deux fonc- 
tions de cette troisième espèce rapportées au même para- 
mètre , on peut trouver généralement une troisième fonction 
égale à leur somme, plus ou moins une quantité déterminable 
par des arcs de cercle ou par les logarithmes. 
On n’a pas lieu d'espérer qu’on puisse en général réduire 
une fonction proposée de la troisième espèce à l’une des 
fonctions inférieures ; mais on le peut dans les cas indiqués 
par M. Legendre dans son premier mémoire. 
Il considère ici ces réductions sous un point de vue plus 
général, et parmi les nouveaux résultats auxquels il est par- 
venu, l'un des plus remarquables est celui-ci : toute fonction 
de troisième espèce qui est complète, ou dont l'amplitude est 
égale à un angle droit, peut se déterminer exactement par 
