178 + THÉORÊÈME GÉNÉRAL 
gones, etc., peut toujours être effectuée de maniere que les 
divers nombres polygones en question, à l'exception de 4, 
soient égaux à zéro, ou à l'unité. On peut donc énoncer en 
général le théorême suivant. 
Tout nombre entier est égal à la somme de-quatre penta- 
gones, ou à une semblable somme augmentée d'une unité ; 
à la somme de quatre hexagones, ou à une semblable somme 
augmentée d'une ou de deux unités ; à la somme de quatre 
heptagones, ou à une semblable somme augmentée d'une, 
de deux ou de trois unités ; et ainsi de suite. 
La démonstration de ce théorême est fondée sur la solu- 
tion du problème suivant. 
Decomposer un nombre entier donné en quatre quarrés 
dont les racines fassent une somme donnée. : 
Je réduis ce dernier problème à la décomposition d'un 
nombre entier donné en trois quarrés, en faisant voir que, 
si un nombre entier est décomposable en quatre quarres 
dont les racines fassent une somme donnée, le quadruple 
de ce mème nombre est decomposable en quatre quarrés 
dont l’un a pour racine la somme dont il s’agit. Il est aisé 
d'en conclure que le problème proposé ne peut être resolu 
que dans le cas où le quarré de la somme doïinée est imfé- 
rieur au quadruple de l’entier que l'on considère, et où la 
différence de ces deux nombres est décomposable en trois 
quarrés; ce qui a lieu exclusivement, lorsque cette diffe- 
rence, divisée par la plus haute puissance de 4 qui s'y trouve 
contenue, n'est pas un nombre impair dont la division par 
8 donne 7 pour reste. Si aux deux conditions précédentes 
