SUR LES MOMBRES POLYGONES. 179 
on ajoute celle que le nombre entier et la somme donnée 
soient de même espèce, c'est-à-dire tous deux pairs, ou 
tous deux impairs, on aura trois conditions qui devront 
être remplies, pour qu’on puisse résoudre le problème dont 
il s’agit. Mais on ne doit pas en conclure que la solution 
soit possible toutes les fois qu'on pourra satisfaire à ces 
mêmes conditions. Pour qu'on soit assuré d'obtenir une 
solution, il faut en outre, et il suffit, que la somme donnée 
soit supérieure, où A ou inférieure au plus d'une unité 
à une certaine limite dont le quarré augmenté de 2 équivaut 
au triple du nombre donné. 
En appliquant ces principes aux nombres impairs ; ou 
impairement pairs, on reconnaît facilement que tout nombre 
entier impair, ou divisible une fois seulement par 2, peut 
être décomposé en quatre quarrés, dont les racines fassent 
une somme donnée, toutes les fois que cette somme est un 
nombre de même espèce compris entresdeux limites dont 
les quarrés sont respectivement le triple et le quadruple du 
nombre donné. 
On démontre avec la même facilité, que tout nombre 
entier, quel qu'il soit, peut être décomposé en quatre quar- 
rés, de manière que la somme des racines soit comprise 
entre les deux limites qu’on vient d'énoncer. On doit seu- 
lement excepter, parmi les nombres impairs, les suivans 
» 23 99 113 175 195 293 41; 
et parmi les nombres pairs tous ceux qui, divisés par une 
puissance impaire de 2, donnent pour quotient un des 
nombres premiers 
rue tree dE 
23. à 
