‘SUR LES NOMBRES POLYGONES. IÔI 
la chose est déja faite pour les nombres triangulaires et les 
quarrés, il suffira de prouver le théorème à l'égard des 
autres nombres polygones. On y parvient à l’aide de quel 
ques propositions subsidiaires que je vais commencer par 
établir. 
THÉORÈME PREMIER. 
. . œ ; 
Soit & un nombre entier quelconque, et 4 la plus haute 
puissance de 4 qui puisse diviser a : pour que l'on puisse 
résoudre en nombres entiers æ, y,-2, l'équation 
Gjoa=Ey +2, 
à pri : : a : 
il sera nécessaire, et il suffira que le quotient — ne soit pas 
de la forme 8 n + 7. 
Démonstration. On sait en effet que l'équation (1) peut 
être résolue, toutes les fois que & est de l’une des formes 
4n+1,4n+2,8n+53; et qu'elle ne peut l'être, lorsque a 
est de la forme 87 + 7. De plus, si & est divisible par 4, x, 
y, z seront nécessairement pairs; et si l'on fait en consé- 
quence x—24', y—2y", z2—22', l'équation (1) deviendra 
a De DA De 
A +Y + Z 
- A] 
Si a est divisible deux fois par 4; x’, y', z', dans l’équa- 
quion précédente, seront nécessairement pairs; et par suite 
æ, y, z seront divisibles deux fois par 2. En général, si & 
est divisible par 4”, x, y, z devront être divisibles par 2”: 
