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Ÿ SUR LES NOMBRES POLYGONES. 189 
Corollaire 1”. XL est bon d'observer que dans le théorème 
précédent les signes <et > n’excluent pas l'égalité. En effet, 
æ+.y +2 devient égal à L/a&, lorsqu'on suppose yÿ—0, z—0; 
et à1/3a, lorsque x—7y—2. En général, si la somme de » 
quarrés différents est égale à a, la somme des racines sera 
comprise entre V/a et L/n a. Cette dernière somme attein- 
dra la limite inférieure L/&, si toutes les racines sont nulles, 
à l'exception d’une seule; et la limite supérieure L/#4, si 
toutes les racines sont égales entre elles. C’est ce qu'il est 
facile de démontrer, soit par la méthode qu'on vient d’em- 
ployer, soit par la théorie des maxima des fonctions de 
plusieurs variables. 
THÉORÈME Il. ! 
Soit À un nombre pair pris à volonté, et s un autre 
nombre pair compris entre les limites 
L'(3k— 1), V/4k. 
On pourra toujours résoudre simultanément en nombres 
entiers les deux équations 
G) k=E +u+v +", 
S—=É+U EV+Ww; 
à moins que 
oi ; 
&(Bn +7). 
Démonstration. En effet, si À — (25) n’est pas de la forme 
1813, 1814, 1815. 24 
ne soit de la forme 
