204 THÉORÈME.GÉNÉRAL 
THÉORÈME VIll. 
Soient k et s deux nombres impairs dont le second soit 
compris entre les limites | 
V'(3k—o)—1, VAR. 
Soient de plus, #2 un nombre entier quelconque supérieur 
à 2, r un autre nombre entier égal ou inférieur à m—2; et 
faisons 
(EMA Ze (=) +S +7. 
Si en laissant À et m constans, on donne successivement 
à s et à r toutes les valeurs possibles, et que l’on désigne 
par Bzet Cy la plus petite et la plus grande des valeurs 
de A7 ainsi obtenues : tout nombre entier compris entre 
les limites By, Cz, sera décomposable en »+ 2 nombres 
polygones de l'ordre 72+2. 
Démonstration. Pour établir cette proposition, il suffit 
de faire voir, 1° que tout nombre entier compris entre 
les limites 
B;, C7; 
+ 
est une des valeurs de la formule (1); 2° que tout nombre 
compris dans cette formule peut être considéré comme 
formé par l'addition de m+42 nombres polygones de l'or- 
dre m+2. | 
Pour démontrer la première partie de cette proposition , 
j'observe que, si l'on désigne par s, la plus petite et par s, 
la plus grande des valeurs de s qui correspondent à la valeur 
