386 RECHERCHES SUR L'ALGÈBRE 
l'expression analytique, en suivant une analogie singulière 
dont nous allons parler. 
Pour un nombre quelconque premier p, il y a toujours 
des nombres qui sont tels que leurs puissances successives, 
étant divisées par p , laissent des résidus successifs tous diffé- 
rens; de manière qu'aucune puissance de ces nombres ne 
peut ramener l'unité avant la puissance p — 1 : c’est ce qu'on 
nomme les racines primitives du nombre premier p; et il 
est facile de voir qu'il y a autant de ces racines qu'il y a de 
nombres inférieurs et premiers à p —1. 
Dans l'équation binome du degré p — 1, il y a toujours 
des racines imaginaires qui sont telles que leurs puissances 
successives peuvent former toutes les autres; de manière 
qu'aucune d'elles, avant la puissance p — 1, ne peut être 
égale à l'unité. Ces racines imaginaires pourraient aussi se 
nommer les racines primitives de l'équation binome; et il est 
clair qu'il y a autant de ces racines que de nombres infé- 
rieurs et premiers à p — 1. * | 
Parmi les nombres 1,2, 3,... jusqu'à p —1, ceux qui 
ne sont point racines primitives étant élevés aux puissances 
successives 1, 2, 3,... ne donnent point, à l'égard de p, 
tous les résidus possibles différens, mais seulement une par- 
tie de ces résidus qui reviennent ensuite périodiquement à 
l'infini, et cette partie est une aliquote de p — 1. 
De mème, parmi les racines imaginaires de l'équation 
binome du degré p — 1, celles qui ne sont point racines pri- 
mitives ne peuvent fournir, par leurs puissances successives, 
toute la série de ces racines ; elles n’en forment qu'une partie, 
et cette partie est une aliquote de p —1. 
Cette analogie remarquable, qu'il est facile d'étendre plus 
loin, et qui est complète, nous a fait penser que ces racines 
