388 RECHERCHES SUR L'ALGÈBRE 
vanouit. Car si l’on remplace les nombres soumis aux radi- 
caux par les puissances mêmes dont ils ne sont que les 
moindres résidus , toute l'expression devient claire et parfai- 
tement égale aux nombres entiers dont il s’agit. Et récipro- 
quement, on aurait pu soupçonner que ces résidus entiers 
étaient de nature à être mis sous ces formes imaginaires. 
Les géometres en avaient déja réduit l'expression à moitié, 
par la considération des résidus positifs et négatifs. Quoique 
cela n'offrit encore que des expressions réelles, et qu'on ne 
s'élevät point, en apparence, au-dessus des considérations 
ordinaires de l'arithmétique ; c'était pourtant un premier 
pas vers le théorème général : car c'était, au fond, réduire à 
moitié les expressions des différens résidus par l'emploi du 
double signe plus ou moins +, qui est le signe ambigu de la 
racine quarrée de l'unité. On aurait donc pu imaginer de 
même de les réduire à toute autre partie aliquote de leur 
nombre p — 1, par l’équivoque des racines supérieures de 
l'unité; et de-la, en prenant pour aliquote le nombre 
p —1 lui-même, l'on aurait trouvé qu'effectivement ces 
résidus sont représentés par les différentes racines de l'équa- 
tion binome du degré p— 1. Mais ce n'est presque jamais 
par la voie là plus simple qu'on arrive à de nouvelles vérités. 
7. Quoi qu'il en soit, on peut conclure de ces expressions 
imaginaires une foule de théorèmes sur les nombres entiers 
qui leur répondent. Les théorèmes de Fermat et de Wilson, 
en reparaissent comme les premières conséquences : et en 
général, on peut dire que tout ce qui sera vrai de ces racines 
imaginaires, sous le rapport de l'égalité absolue, sera vrai des 
nombres entiers correspondans sous le rapport de l'égalité 
des résidus qu'ils laissent à l'égard du nombre premier que 
l'on considère ; de sorte qu'ici nos équations se trouveront 
