390 RECHERCHES SUR L'ALGÈBRE 
puisse ainsi, par une même formule qui ne contient actuel- 
lement que certains nombres donnés, représenter une espece 
de nombres dont la loi nous était si cachée, et même l'infi- 
nité des espèces semblables qui se rapporteraient à tous les 
nombres premiers différens susceptibles de les admettre. 
9. Euler est le premier qui , d’après le beau théorème de Fer- 
mat , ait approfondi et fait connaître les principales propriétés 
des résidus des puissances. M. Legendre les a présentées aussi 
d'une manieretrès-simple ,etavec cette facilité de calcul qui naît, 
dans les opérations successives , de l’omission qu'on y fait des 
multiples du nombre premier que l’on considère. M. Gauss les 
a étendues et reproduites sous une autre forme, en représen- 
tant par de nouveaux signes les équations indéterminées qu’il 
nomme alors des congruences, ce qui veut dire des équations 
dont les deux membres s'accordent à donner le même résidu. 
Mais la nature de ces méthodes est, au fond, toujours la même ; 
etilme semble qu’en cette matière on n’était pointencore sorti 
de la synthèse. Enfin, dans nos spéculations analytiques , nous 
étant moins occupés de la recherche desnombres eux-mêmes, 
que des formes ou expressions générales quiles pouvaientrepré- 
senter , nous avons eu l’idée de changer ces équations indéter- 
minées, en équations absolues, et de réduire ainsi toute cette 
analyse à l'algèbre ordinaire. Cetteidéepeutouvrir de nouvelles 
routes : c'est le premier et singulier exemple de l'application de 
l'algèbre à la théorie des nombres. 
10. Au reste, comme la considération des racines primi- 
tives peut être d’une grandeutilité dans des recherches d'ana- 
lyse ou de géométrie, nous avons aussi cherché par la syn- 
thèse, un moyen facile de les découvrir sans tâtonnement 
pour un nombre premier quelconque qui serait donné. Cette 
méthode nouvelle peut être exposée de la maniere la plus 
simple par un exemple, 
