ET SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 301 
Et supposons qu'il s'agisse entre autres du nombre pre- 
mier 31. Comme le nombre inférieur p— +, qui est ici 30, 
se décompose dans les facteurs simples 2, 3 et5, je remarque 
que les racines primitives de 31 ne peuvent être ni des quar- 
rés, ni des cubes, ni des cinquièmes puissances ; car, à cause 
des diviseurs 2, 3, 5, du nombre 30, les quarrés étant élevés 
aux puissances successives, rameneraient l'unité au moins 
dès la 15° puissance; les cubes la rameneraient dès la 10e 
puissance ; et les autres, à la 6°. Ainsi donc, pour avoir les 
racines primitives de 31, c'est-à-dire pour avoir les nom- 
bres qui ne peuvent ramener l'unité avant la 30e puissance, 
il suffit d'exclure des trente nombres de Ja suite naturelle I, 
2, 3,4, etc., 30, ceux qui sont des quarrés, des cubes, et 
des 5° puissances, ou plutôt des résidus de ces puissances. 
Or au moyen des quarrés, on exclut d’abord la moitié de 
tous les nombres ; par les cubes de ceux qui restent, on en 
exclut le tiers; et, par les 5“ puissances, on rejette encore 
un cinquième de ces derniers nombres ; et il ne reste plus 
que les huit racines primitives de 31. 
Et il en est dé même pour tous les nombres premiers p, 
en excluant les puissances marquées par les facteurs simples 
2, a, 6, y, etc., du nombre composé p — 1. D'où l’on voit 
encore pourquoi il y a précisément autant de ces racines pri- 
mitives , qu'il y a de nombres inférieurs et premiers à p—1. 
La démonstration de cette méthode ne présente aucune diffi- 
culté, et dans l'application la règle peut être suivie de manière 
à ne pas faire plus d'opérations particulières qu'il n'y a de 
nombres à exclure. 
11. Dans les nouveaux commentaires de Pétersbourg, Euler 
dit, en plusieurs endroits, qu'on ne voit encore aucun moyen 
de déterminer kes racines primitives : que la démonstration qui 
prouve dans tous les cas leur existence, n'indique pourtant : 
