ET SUR LA THÉORIE DES NOJIBUES. Soi 



Et supposons qu'il s'agisse entre autres du nombre pre- 

 mier 3i. Comme le nombre inférieur^— i, qui est ici 3o, 

 se décompose dans les facteurs simples 2 , 3 et 5 , je remarque 

 que les racines primitives de 3i ne peuvent être ni des quar- 

 res, ni des cubes, ni des cinquièmes puissances; car, à cause 

 des diviseurs 2,3, 5, du nombre 3o, les quarrës étant éleve's 

 aux puissances successives, ramèneraient l'unité au moins 

 dès la i5^ puissance; les cubes la ramèneraient dès la lo^ 

 puissance; et les autres, à la 6^. Ainsi donc, pour avoir les 

 racines primitives de 3i , c'est-à-dire pour avoir les nom- 

 bres qui ne peuvent ramerier l'unité avant la 3o^ puissance, 

 il suffît d'exclure des trente nombres de la suite naturelle i 

 2,3,4, etc. , 3o , ceux qui sont des quarrés , des cubes , et 

 des 5*= puissances, ou plutôt des résidus de ces puissances. 



Or au moyen des quarrés , on exclut d'abord la moitié de 

 tous les nombres ; par les cubes de ceux qui restent , on en 

 exclut le tiers; et,. par les 5" puissances, on rejette encore 

 un cinquième de ces derniers nombres ; et il ne reste plus 

 que les huit racines primitives de 3i. 



Et il en est dé même pour tous les nombres premiers p , 

 en excluant les puissances marquées par les facteurs simples 

 2) «1 Pi Vi etc., du nombre composé/» — i. D'où l'on voit 

 encore pourquoi il y a précisément autant de ces racines pri- 

 mitives, qu'il y a de nombres inférieurs et premiers k p i. 



La démonstration de cette méthode ne présente aucune diffi- 

 culté, et dans l'application la règle peut être suivie de manière 

 a ne pas faire plus d'opérations particulières qu'il n'y a de 

 nombres à exclure. 



1 1. Dans les nouveaux commentaires dePétersbourg, Euler 

 dit , en plusieurs endroits, qu'on ne voit encore aucun moyen 

 de déterminer les racines primitives : que la démonstration qui 

 prouve dans tous les cas leur existence, n'indique pourtant 



