XXVJ HISTOIRE DE l'aCADE3IIE, 



solue, qui doit être le caractère propre des expressions de 

 l'analyse. 



« Mais en se bornant même h l'unique valeur de la fonc- 

 tion qui est relative à l'arc simple que l'on considère, et non 

 pas à cet arc augmenté d'une ou de plusieurs circonférences, 

 on a prouvé, dans ce Mémoire, que les séries connues ne sont 

 applicables que lorsque la variable est comprise entre de 

 certaines limites que le calcul détermine. Ainsi la formule 

 d'Euler, qui développe la puissance du cosinus par les co- 

 sinus darcs multiples , n'est généralement vraie que pour un 

 arc qui ne suipasse pas le premier quart de la circonférence 

 pris en plus ou en moins. Au-delà, le cosinus est négatif, 

 et la formule cesse d'être exacte pour l'arc dont il s'agit. La 

 même analyse fait connaître le défaut précis de celle dont 

 on avait déduit la série, et donne la solution de toutes les 

 difficultés qu'on avait rencontrées sur ce point de doctrine. 

 Il suit encore de cet examen que la double série donnée 

 par Euler, et confirmée par l'analyse de La Grange pour 

 l'expression complète du cosinus d'un arc multiple dévelop- 

 pée par les puissances descendantes de l'arc simple, n'est 

 vraie que dans le cas de l'exposant entier; que si l'exposanl 

 est fractionnaire, la série est divergente et ne peut être ap- 

 pliquée. Le défaut de l'analyse dont on a déduit cette série, 

 provient de ce que l'on y suppose tacitement le cosinus plus 

 grand que le rayon; d'où il résulte que la formule générale 

 à laquelle on est ainsi parvenu ne convient plus à la division 

 des angles , mais à celle des secteurs considérés dans l'hyper- 

 bole équilatère. » 



Nous ne pourrions ici entrer dans plus de détails sur ces 

 différents points d'analyse. Les géomètres liront avec le plus 



