4 RECHERCHES 



déterminés , n'ont aucun commun diviseur; car si un même 

 nombre premier a divisait deux des nombres se, y, z, il divise- 

 rait nécessairement le troisième, et l'équation pourrait être 

 divisée par a". Il faudra, en vertu de cette supposition, que 

 deux des trois nombres x, y, z, soient impairs et le troi- 

 sième pair. 



3. Soit x+j+z=p, je dis que p sera toujours divisible 

 par n. En effet, on sait que n étant un nombre premier , la 

 quantité x" — x est toujours divisible par n ; il en est de même 

 dey — j et de z" — z; donc la somme de ces quantités , 

 savoir x" +y -t- z" — p ou simplement — p est divisible par n. 



4. Je dis maintenant que p" sera divisible par le produit 



(x +f){j + z){z + x) ^ de sorte qu'on pourra faire 



p" =i(^x -h f){f + z ) (z + a;)P, P étant un polynôme en 0^,^,2, 

 homogène et du degré n — 3. Car n étant un nombre impair 

 quelconque, yj" — z" est toujours divisible par/? — z ou.r +j; 

 de même x" + y est divisible par x+j; donc// — z" — x' 

 — y ou simplement /y est divisible par xH-j. Par une sem- 

 blable raison /y est divisible par j + z et par z+x. Donc n 

 étant un nombre impair quelcon que, /^ sera divisible par le 

 produit (x+j) (j + z)(z 4- x). 



5. Si l'on suppose qu'aucun des nombres x, y, z n'est 

 divisible par n, il faudra aussi qu'aucune des sommes ,r+j, 

 y+z, z + x, ne soit divisible par 11; car si, par exemple, 

 x+y était divisible par n, la différence p—{x+y) ou z 

 serait divisible, ce qui est contre la supposition. 



6. Si l'un des nombres x,y, z est divisible par n , soit .r 

 ce nombre; alors j+z sera divisible non-seulement par n, 

 maisparn""'. En effet, puisqu'on a x"+y+z"=o, il fautque 



