DANALYSE INDETERMINEE. 5 



y+z" soit divisible par 71"; mais y"+z" est le produit de 

 y + z par le polynôme y'"" — zj)"~' + z.y~^ — ttc; et si on fait 

 dans ce polynôme j+z^o , ou z= — y, il se réduit à nf~' ; 

 donc, comme j" ne peut être divisible par n, puisque xetj 

 sont premiers entre eux , le polynôme sera divisible par n 

 simplement et non par une puissance plus élevée de n. Donc 

 j + ;: sera divisible par n"~'. 



En général, si x était divisible par /z*,j + s le serait par 

 «""—', et P simplement par n. 



7. Il résulte de ce qui précède que, si on fait y + z" 

 ^(j+z) 9 (j,z), les deux facteurs j + z et (p(j-,z) auront ?i 

 pour commun diviseur ou n'en auront aucun , selon que x 

 sera ou ne sera pas divisible par n. 



La fonction 9 (y,z)^f~' — zf~^+z'f-\ . . +z''~' dont 

 nous ferons beaucoup d'usage , est remarquable par plusieurs 

 propriétés. Comme les nombres jet z doivent être en gé- 

 néral ou tous deux impairs, ou l'un pair et l'autre impair, 

 la fonction cj,(y,z)^ dont le nombre des termes est ?î, sera 

 toujours un nombre impair. De plus, ce nombre sera positif; 

 car la fonction <p est de degré pair, et elle a tous ses facteurs 

 imaginaires. On sait d'ailleurs que /z étant, comme nous le 

 supposons, un nombre premier, la fonction 4? peut tou- 

 jours se mettre sous la forme /^(f=Y'±nZ\ savoir Y'' + «Z-, 

 si n est de la forme 4^" — i •. et Y" — nZ', si n est de la forme 

 4 A- 4- 1 . {rayez Th. des N. n» 476.) 



Maintenant, si on peut satisfaireà l'équation ^°+y+z";^o, 

 voici les consécjuences qui résultent de cette supposition. 



8. Considérons d'abord le cas où l'un des trois nombres 

 X, y, z, serait divisible par n, et soit a; ce nombre; alors en 



