12 RECHERCHES 



généralement x= ig -{-j'^a^j^^ — 18+ 'j''b,z = — i + y'^c, 

 donneraient la somme x'^+j-''+z' divisible par n". Mais voici 

 deux autres cas qui réussissent, ce sont ceux de 7i=ii et 



71=1 y. 



En effet, 1°. la puissance 1 1'°" de tout nombre non divi- 

 sible par II est toujours de l'une de ces formes 121 w± 

 (1,3, 9, 27,40). Or dans les cinq nombres i , 3,9, 27,40, il 

 n'y en a pas deux qui se suivent immédiatement ou dont la 

 différence soit l'unité. Donc trois de ces nombres ne peuvent 

 faire ni la somme o ni la somme 121. Donc l'équation x" 

 +j"+z"=o étant supposée possible, un des nombres x,j, z, 

 sera divisible par 11. 



2°. La puissance 17'™' de tout nombre non divisible par 

 17 est de l'une des 16 formes 289/7^ ± (i ,38,4o,65,75, 1 10, 

 i3i, i34); or parmi ces restes on n'en trouve pas deux qui 

 se suivent à une unité de différence; donc dans l'équation 

 •t'"+j'' +z'' = o, un des nombres x,j,z, sera divisible 

 par 17. 



18. Le principe dont nous venons de faire usage se dé- 

 montre ainsi : 



Supposons qu'on ait a:" +_;>'^ + s" = o , et soit un nombre 

 premier non diviseur de xjz, puisque x et 9' sont premiers 

 entre eux, on peutsupposer j=/j;+8''y,z=g,r + 9°z', et en 

 faisant la substitution on verra que i+/'+g"est divisible 

 par ô\ ou qu'en supprimant les multiples de 9°, on a ( — gj 

 =/"+ 1 1 donc parmi les restes des puissances li'""' divisées 

 par 9°, il y en aura toujours un, provenant de (9 — g)" ou 

 '^^ ( — ë)" ^"i sera plus grand d'une unité que le reste pro 

 venant de/"". Si cette condition ne se trouve pas remplie 



