d'analyse INDÉTERMINÉE. 33 



4o. Ces formules contiennent une infinité de solutions, 

 puisqu'on peut prendre pour k un entier quelconque ; mais 

 ces solutions en nombre infini , ne sont susceptibles que de 

 cinq formes différentes. 



En effet, quel que soit l'exposant k, il sera toujours de 

 l'une des cinq formes 5i^5i±i ,5î± 2. Mais j'observe que 

 la partie indéterminée 5i peut être supprimée comme étant 



comprise dans l'expression de r\ Car on peut faire 



(y+^l/5)(9±3l/5y=/'+^'l/'5, et on aura de nouveau 

 r=/'' — 5 g% de sorte qu'il suffira de mettre/" et g-' à la place 

 de y et ff dans les valeurs de F et G. Il ne reste donc à con- 

 sidérer que les cinq valeurs Z:=o,± [,±2, auxquelles ré- 

 pondent les valeurs de m et n, comme il suit :. 



77i = 1 , g , 161, 



«=:0,±4,± 72, 



4i. Nous observerons encore que dans l'équation. 



4-.5'f'°=wîG + raF , oii G est toujours divisible par 5, le 

 terme nF ne peut être divisible par 5 qu'autant que n le 

 sera : car ?' étant premier k 5t, et sa valeur étanty' — 5g-' , 

 y ne peut être divisible par 5, ni par conséquent F. Donc 

 des cinq valeurs de n on ne peut admettre que la valeur 

 71=0 cjui répond à m^^ i , ce qui donnera pour seule solu- 

 tion admissible 



^.5h'" = G= 5 g {p + 1 ofg^ + 5 g") , 

 ou ^.5'f'=g{f'+iof'g-'+5g'). 



Dans cette équation, les deux facteurs du second membre 



sont premiers entre eUx, et il faut supposer g pair; car si g 



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