4à RECHERCHES 



Mais puisque Ji et G" sont divisibles pai- 5 et que F" ne 

 l'est pas, cette équation ne peut subsister à moins que v ne 

 soit divisible par 5. Et comme on a en ge'ne'ral ia + vI/5 

 =^(3+l/5j(m4-7zl/'5"), cequidonnej^.=:3TO+5n,v=:?7î+3«, 

 on ne pourra admettre que les valeurs m=\Ç)i^n = — 72, 

 d'où résultent [7.= i23,v= — 55, de sorte qu'on aura h'' ou 



5"«"'°=i23G" — 55 F". 



47. Nous retombons ainsi sur une équation semblable à 

 l'équation déjà considérée 5"m"= i23G' — 55 F'; d'où il suit 

 que les mêmes transformations pourront être continuées à 

 l'infini, ce qui supposerait infinies les valeurs primitives des 

 indéterminées. 



Car ayant fait successivement x := — Str, t=ur\u=ur'\ 

 iii:^u' r'\ etc., on aura t=^U7' =ur' }''=iî'r'i''r'\ elc, de 

 sorte cjue le nombre des facteurs /' augmente continuelle- 

 ment dans l'expression de t. Ces facteurs sont déterminés 

 par des équations qu'on peut réduire à la même forme , sa- 

 voir r''":=r' + 5rh' + 5h\7'"'°=r'' -\- 5 r' h' + 5 h'\ etc., d'ail- 

 leurs on a /i=5^M'", /t'=5"e/.'", /i":^5"M"'", etc., de sorte que 

 la suite A, h\h'\ etc., est rapidement croissante, même en 

 supposaiit cjue les nombres zz, ?/,;/', etc., aient 1 unité pour 

 limite. Donc les nombres r, r\ /•", etc., toujours plus grands 

 que I , ne pourront être moindres que 2 , ce qui rendra in»- 

 finie la valeur de t. Donc l'équation a'''+y + z' = o n'admet 

 aucune solution en nombres entiers. 



48. Il est maintenant démontré que l'écjuation 



x"+j''+ z°:3=o, ne peut avoir lieu toutes les fois que «, qui 

 est supposé impair, sera un multiple de 3 ou de 5. Quant 

 aux autres cas du théorème de Fermât, ils ne semblent pas 



