44 RECHERCHES. 



donc comme ci-dessus ê=/' + 3g'' et ê'=F' + 3G' , on aura 

 l'équation (^)' + 3 (•^y = F' + 3 G', à laquelle on 



satisfait généralement en prenant ~ = F , — ~ = G . Cette 



dernière donne, en faisant les substitutions, 



2"-'3^"-^«^=g-(/-r)- 



Dans cette équation oùy* — g' est impair, puisquey'-l- 3 g' 



l'est , il faut que §■ soit divisible par 2.^°""; soit donc 



g=9J"-' A,f+g=B,/—g=C,on aura (3-^.7= ABC. Main- 

 tenant puisque le produit ABC est un cube et que les fac- 

 teurs A, B, C sont premiers entre eux, il faut que chacun 

 de ces facteurs soit un cube; ainsi on devra faire A^7.', B 

 — lj.\C=y\ ce qui donnera/+ g—^.' ,/—g= ^\g= a'"- 1\ 

 et en même temps X(y.v=3"'"'a. On tire de là l'équation.. 

 (j.' — v'=2^=2''"l% semblable à la proposée, où il faut ob- 

 server que l'un des trois nombres \^ (a,v , doit contenir le fac- 

 teur 3°"'. Or, d'apiss ce qui a été démontré dans la seconde 

 partie, le terme a"'! déjà divisible par 2, est nécessairement 

 aussi divisible par 3; donc il faut faire •>. = 3''~'9, ce qui 

 donnera 



Ainsi de l'équation w^ + j' = (2'" 3Vi)' , oîi l'une des indéter- 

 minées est divisible par 3", on déduit une équation semblable 

 où l'indéjterminée correspondante est divisible par 3"~'. Con- 

 tinuant donc ces transformations autant de fois qu'il y a 

 d'unités dans n, on parviendra à une dernière transformée 

 '^ +y^=z'^ dans laquelle aucun des nombres x\f\z' ne 

 .serait divisible par 3. Cette équation est impossible en vertu 



