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46 RECHERCHES '^ 



est un; d'ailleurs les trois facteurs g,f-\-g^f — g, n'ayant 

 aucun diviseur commun , l'équation précédente se décom- 

 posera en trois autres, savoir §•= 2°'"" a\y+g=ê',y — g"=yN 

 d'où résulte & — Y'^2°'a% équation semblable à la proposée 

 et composée de nombres beaucoup plus petits. 



Soit 2°. z non divisible par 3, alors l'équation proposée 

 se décomposera en ces deux-ci : 



lesquelles supposent z-^^ar, et r premier à a. 



La dernière étant mise sous la forme 



3r — ^ j =1^1 on voit que r devra être de la forme 



_/^ -J- 3g-'; c'est pourquoi faisant, comme dans le premier cas, 

 /•=/- + 3g',(/+g|/— 3)'=F+GV/— 3, on aura 



7'^ F' + 3 G'; ce qui donnera la solution =^=F, ^^G. 



Mais on a F=/(/'— -gg'); donc 2"— a'=/(/^ — 9g-'). Les 

 trois facteurs du second membre /"jy^- 3g-,y — "ig, étant 

 premiers entre eux et^' — gg-' étant toujours impair, cette 

 équation ne 'peut subsister à moins qu'on n'ait y^a""' a^ , 

 y+3g=ê%y — 3g*=y% ce qui suppose rt^aêy, les trois 

 nombres a, 6, y étant premiers entre eux. De là résulte. . . 

 €'+ y' =^2"" a^ , équation entièrement semblable à la proposée, 

 et dans laquelle a sera, ainsi que a, non divisible par 3. 



Puisque dans les deux cas l'équation proposée se réduit à 

 une équation composée de nombres beaucoup plus petits; il 

 s'ensuit que cette équation est impossible, excepté dans le 

 seul cas j;+y=o. 



