52 RECHERCHES 



est de la forme 4 ^' + i • Cela posé : 



» Je dis que le polynôme X se déterminera en général 

 » par la formule (i) 



X = 3(^+j)", 



» où m = ^^^^ , pourvu qu'après avoir développé cette puis- 



» sance, on retranche des coefficients tous les multiples de n 

 » qu'ils peuvent contenir, en ne conservant que les restes 

 » moindres que -^n. » 



En effet la quantité A = (a + i)" — a" — i est toujours di- 

 visible par n, quel que soit l'entier a. Supposons a + i non- 



divisible par «, alors =(a+ iV" — ( ) sera divi- 



sible par n; multipliant par 4 et observant que 4 (- -) 



peut être mis sous la forme B' ±:nC% on aura le nombre 

 4(« + i)'" — B'zp^C", ou seulement sa partie 4 (<^ 4- i)'" — ^' 

 qui sera divisible par ?i. Donc 2 (« + i^zbE sera encore di- 

 visible par ra; et comme le signe de B est à volonté; on pourra 

 faire B=2.(a + i)". C'est ce que donnerait la formule énoncée 

 dans le théorème en faisant ce = af. 



58. Soit par exemple n= 1 1 , on aura w = 5, et 



réduisant comme il vient d'être dit, les coefficients au-dessous 

 de -^n, on aura la vraie valeur de X, savoir 



x^=2x^ — x^j — 2 x^y — ^,^'y — ^y^ + ^y 



(i) Cette formule offre pour déterminer X un moyen beaucoup plus 

 simple que celui que nous avions indiqué dans la Théorie des nombres, 

 art. 478. 



