6o RECHERCHES d'aNALYSE INDETERMINEE. 



ces quantités devront être également rationnelles. Or par les- 

 formules connues on trouve y + z^pq — 3r,yz=q^+p^i' 

 — 6pqr + C)r'^ donc (j — zy^p'q' — /^q^+ iSpqr — ^p'?' 

 — ^jr'; le second membre doit donc être un carré parfait. 



On obtiendrait le même résultat par la considération des. 

 deux quantités/a'ê,/"a'-y. 



Corollaire. Il suit de ce théorème que dans le cas où l'équa- 

 tion x^ — px' + qx — 7'=r-o a ses trois racines rationnelles, 

 l'expression de l'une de ces racines par la formule de Cardan,, 

 est toujours de la forme 



x==\p + \/(A + Bl/— 4) + \/(A— Bl/— i ), 



dans laquelle A et B sont rationnels , ainsi que V (A' -H \ B'). 



Théorème V. « Si l'on propose de trouver combien il y a 

 » de nombres premiers dans la progression arithmétique 

 » A — C,2A — C.,.raA^ — G, où C est l'un des k nombres 

 3) plus petits que A et premiers à A , le nombre cherché x 

 » sera donné par la formule 



X 



A-(log. («A)— 1.08366) ' 



» laquelle sera d'autant plus exacte que n sera plus grand. » 

 Par exemple, dans la progression 69, i ig, 17g, etc. dont 



le terme général est 60 « — i , on a A= — (i — y)(i — i)=i6, 



^^•^=1 — Tr — \ 5^r??- Ainsi dans les looooo premiers 



log. (Oow) — 1.08J66 r 



termes de cette progression on devra trouver à très-peu^près 

 26820 nombres premiers. 



