^4 DÉVELOPPEMENT 



de l'excentricité, est que rexceutricité soit moindre que 



2. 1/.0. (,_>..) 



5 



b> étant donné par l'équation 



Les deux séries sont alors convergentes ; c'est ce qui a lieu 

 pour toutes les planètes, même pour les planètes télescopi- 

 ques. Les valeurs supérieures de l'excentricité font diverger 

 la série du rayon vecteur, et alors il faut recourir à d'autres 

 développements. Tel est le cas de la comète à courte période. 



in. 



On développe encore les expressions de l'anomalie 

 vraie et du rayon vecteur, suivant les sinus et cosinus mul- 

 tiples de l'anomalie moyenne. Soit alors 



11 = ^ -\- a^'Ksin.t + a'^'.sin.af . . . + a^'Ksm.it+ etc. 



a'-'\a^'\ etc. étant des fonctions de l'excentricité. On peut 

 facilement démontrer que la série est toujours convergente. 

 En effet, on a 



j(v — t).dt.sm.it=Tz. o/'* 



l'intégrale étant prise depuis t nul, jusqu'à t égale ait. Or, 

 on a dans ces limites , en intégrant par parties , 



dd V 



dt.iv — i). sin. it = -- jdtf-jr — i j.cos.it^^ — -r^-jdisin.it.-g-; 



on aura donc 



rt''^ = — T— ■ j dt.sin.it. —, — . 

 i t: J dt 



