456 MÉMOIRE SUR LA THEORIE 



^ = ^ JJJ ,/L ^^' dy'dz 



dx' 



X- 



.^ujji -^ dx'dydz' + kJJ}-^ dx' dy dz'. 



Pour plus de clarté, supposons que l'axe de x' soit vertical 

 et dirigé de bas en haut; que D soit tout entier au-dessus 

 du plan horizontal des j-',z'; et qu'il n'y ait que deux points 

 de sa surface qui aient la même projection sur ce plan. Ce 

 sera depuis l'ordonnée du point inférieur jusqu'à celle du 

 point supérieur, que l'on devra prendre l'intégrale relative 

 à x' ; ainsi l'on aura 



JJJt^dx'dfdz=ff{^^)drdz'-JJ[^,^] dydz' ; 



les quantités -^^^^ et ( ^~^ j se rapportant respective- 

 ment à ces deux points. Si donc on conçoit un cylindre vertical, 

 tangent à la surface de D , qui la divise en deux parties , il 

 faudra étendre la première des deux intégrales doubles à la 

 partie supérieure, et la seconde à la partie inférieure. Or, en 

 appelant l l'angle compris entre la verticale tirée de bas 

 en haut par le point de la surface de D dont x\y^z\ sont 

 les coordonnées, et la partie extérieure de la normale à cette 

 surface au même point, cet angle sera aigu dans toute la 

 première portion de la surface, et obtus dans toute la 

 deuxième partie; désignant de plus par du> Télément diffé- 

 rentiel de la surface en ce même point, sa projection hori- 

 ;i^ontale sera dj' dz\ et nous aurons 



dy' dz' = ± cos.ldb)^ 



i 

 i 



